[ MIT Class ] Linear Algebra, Spring 2005 - Lec3

Source From Here 
Preface 
 

Matrix Multiplication 
這就是套公式, 對公式不熟的可以參考 Wiki - Matrix multiplication. 但在影片有提到幾個觀念值得在這邊提. 

Multiplication - Way 1 
如果以 "矩陣" x "只有一行的矩陣"的角度來看: 
 

以 GLA 的範例代碼來驗證會是: 

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1. // Multiplication W1  
2. // A(mxn) * B(nxp) = C(mxp)  
3. // C(c1) = A*(Column 1 of B) <--- a="" column="" combinatioin="" of="" span="">  
4. // C(c2) = A*(Column 2 of B)  
5. // ...  
6. Matrix A = LA.newMtx3(2, 3, [1,2,3,4,5,6])  
7. Matrix B = LA.newMtx3(3, 2, [1,0,0,2,1,0])  
8. Matrix C = A*B  
9. printf("%s\n", C)  
10. // First column of C ---> c1  
11. Matrix O = A.col2Mtx(0)*B.val(0, 0)+A.col2Mtx(1)*B.val(1, 0)+A.col2Mtx(2)*B.val(2, 0)  
12. assertEquals(O.c(0), C.c(0))  
13. // Second column of C ---> c2  
14. O = A.col2Mtx(0)*B.val(0, 1)+A.col2Mtx(1)*B.val(1, 1)+A.col2Mtx(2)*B.val(2, 1)  
15. assertEquals(O.c(0), C.c(1))  

Multiplication - Way 2 
如果以 "只有一列的矩陣" x "矩陣" 的角度來看: 
 

以 GLA 的範例代碼來驗證會是: 

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1. // Multiplication W2  
2. // A(mxn) * B(nxp) = C(mxp)  
3. // C(r1) = (Row 1 of A)*B  
4. // C(r2) = (Row 2 of A)*B  
5. // ...        
6. // First row of C ---> r1  
7. O = B.row2Mtx(0)*A.val(0, 0)+B.row2Mtx(1)*A.val(0, 1)+B.row2Mtx(2)*A.val(0, 2)  
8. assertEquals(O.r(0), C.r(0))  
9. // Second row of C ---> r2  
10. O = B.row2Mtx(0)*A.val(1, 0)+B.row2Mtx(1)*A.val(1, 1)+B.row2Mtx(2)*A.val(1, 2)  
11. assertEquals(O.r(0), C.r(1))  

Multiplication - Way 3 
(13:40) 接著考慮 Column of A x Row of B: 
 

Multiplication - Way 4 
如果把一個 Matrix 看成數個 Block 組成的角度來看: 
 


Inverse Matrix 
(24:00) 接著看 Invertible Matrix: 
 

這裡解釋 Invertible Matrix 所具備的特性以及何謂 Singular Matrix. 

Gauss-Jordan 
(34:30) 這裡開始解釋如何求 Matrix A 的反矩陣. 一個做法是使用 Gauss-Jordan Reduction. 
 

Supplement 
* Inverse of a matrix by Gauss-Jordan elimination