[ RubyAlg ] MIT Linear Algebra, Spring 2005 - Lec14

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Orthogonal Vectors
兩個 Vector 如果正交/垂直 (Orthogonal) , 則具備特性: A^T*B = 0. 證明如下:


接著在 21:20 提到 Row Space is orthogonal to Null Space, 簡單說明如下:


因為 Row vectors 乘上 Null Space 的 Vectors 等於0, 故我們認為 Row space 與 Null space 具備 Orthogonal 特性!

接著在 34:50 提到 Ax=b 在什麼時候會沒有解! 首先可以確定的是 m > n (A 是 mxn Matrix.). 然後再繼續這個問題之前, 教授又提到 A^T*A 這個有趣的 matrix, 所以原來問題變成:


接著我們來看看 A^T*A:

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1. require "alg/math/LinearAlgebra"  
2. LA = LinearAlgebra  
3.   
4. AT = LA.newMtx3(2,3,[1,1,1,1,2,5])  
5. A = AT.t  
6. printf("A:\n%s\n", A)  
7. printf("A^T:\n%s\n", AT)  
8. printf("A^T*A:\n%s\n", AT*A)  

執行結果:


如果代碼改成:

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1. AT = LA.newMtx3(2,3,[1,1,1,3,3,3])  
2. A = AT.t  
3. printf("A:\n%s\n", A)  
4. printf("A^T:\n%s\n", AT)  
5. printf("A^T*A:\n%s\n", AT*A)  

執行結果:


可以發現 A^T*A 與 A 有相同的 Rank! 至於為什麼, 要等到下一講!